スレイター さん ご質問有難うございます。
スライターさんのお引っ越しとご両親のお引っ越しの両方を、同じ引っ越し屋さんに依頼されることによる割引はあると思います。
移動距離が近いのは料金的には有利に働きます。
同じ日に移動されることが割引につながるかどうかは、両方の荷物の量や依頼される引っ越し屋さんの都合（他のユーザーの予約の入り具合）などによるので、一概に言えません。
料金的には同日にお引っ越しされることより、そのお日にちが平日か休日か、大安か仏滅かなどによる影響の方が大きいと思います。
単純には土日・祝祭日より平日の方が安いですが、これも配車都合（他の客さんの予約状況）によって変わりますし、業者によって当然違います。
良いお引っ越しをお安く実現されるためにも、複数の引っ越し業者から見積をとられることをおすすめします。
当サイトでお勧めしている一括見積もりサービスは、一度の条件入力でお住まいの地域で対応可能な複数の引っ越し業者に見積もり依頼ができます。
各参加業者は、同業他社にも見積もり依頼が送信されていることを知っていますので、ライバルを意識した安い見積もり額を最初から提示してくれやすくなります（笑）
無料のサービスですから、お気軽にご利用くださいね。