プリン さん ご質問ありがとうございます。
大抵、どの引っ越し業者さんでも対応してくれると思います。ダンボールなどを置く場所に、汚れ防止の為のシートを敷いてくれる業者さんもあります。
以前の運送業の延長やついでのように引っ越しを請け負っていた業者であれば、丁寧に各部屋に小物を分けて運ぶといったことはしないところも多かったです。
ただ、今の引っ越し専門を名乗っている業者は、サービス業的な作業を売りにしていますので、多くのところが標準の作業で細かく分けて運んでくれると思います・
ご自身が契約された引っ越し業者さんの営業マンに、実際には確認してみてくださいね。
ただ少し違った観点から申し上げると、「新居の間取りと荷物の量の兼ね合い」もあります。
荷物が多い割りに新居のスペースが小さいと、すべての部屋が埋まってしまって当面の生活や寝る場所が無くなります。
その場合は、大事なものや必要な物が入ったダンボールを除いて、それ以外は倉庫代わりの部屋を作って、そこに高く積み上げたりした記憶も有ります。このあたりは引っ越し会社ごとの方針というより、当日の作業員のセンスややる気にもよると思います（笑）
振り分けを希望される場合は、とにかくダンボールの上部と側面の複数箇所に行き先を分かりやすく書いてあげてくださいね。
朝からの引っ越しのご契約の場合で、その作業担当者が午後から違うお宅の引っ越しを受け持っている場合は、小物の振り分けをする頃は結構あせっている場合があったりしますので。