引っ越しのシーズン時期の中でも、極端に忙しい時期ではないので、今回頂いたご質問の内容のようなことが起こるのは少し珍しいかも分かりませんが、私の引っ越し業界にいた経験からすると、容易に想像ができるのも残念ながら事実です。
背景から解説しますと、どうしても契約を取りたい営業マンと、契約単価を下げたくない配車係（営業マンの上司で営業所の責任者かもしくはそれに準ずる立場の者）の間で起こる現象と言えます。
３月は非常に引っ越しの問い合わせが多いので、値引きをしなくても十分満車にすることが出来ます。高い料金で契約が取れやすいケースが続くので、値切られる場合に営業マンの態度が横柄になることはよくあります。
ただ、その場でその気持ちをなるべく隠して契約をとって、安い料金の代わりにフリー便などの条件を付けて、営業マンは配車係に対して体裁を整えます。
ここでフリー便の解釈が、ユーザー・営業マン・配車係の３者でズレが生じることがあります。営業マンの説明不足が原因なのですが、配車係も各営業マンの持って帰ってきた見積もり書だけを見て配車を組み立てるので、ユーザーと営業マンの細かな約束などまで配慮しないことが多いです。繁忙期などはその傾向が顕著です。
今回は恐らくフリー便（ある程度引っ越し業者側の配車都合に合わせる）の契約をされたのではないでしょうか？
で、ノリ さん はほんの数時間程度のずれの範囲だろうと想像されていて、配車係は日程も自由に変えられるように解釈した・・・ということが原因かと。
約束が違うとノリ さん が言われた場合に、担当の営業マンがどのように答えるか分かりませんが、結果論になるかもしれませんが、見積もり書の備考欄に、フリー便の意味合いを記載させておくのが一番良い方法なんです。特にシーズン時期に関してはリスク回避のためにも皆さんにお勧めしています。
他の業界でお買い物をされるのであれば、あまりこのようなケースは無いと思うのですが、残念ながら引っ越し業界の現状はそのような感じなので、ユーザー側が注意深く買い物をされることが必要になってくるのです。
ダンボール代は多少高いのではないでしょうか？
私の所属していた引っ越し業者では、大５００円、中４００円、小３００円という価格でしたので、一番大きなダンボール１０枚だとしても高いです。ただ、引っ越し業者によって違うかも分かりません。
正井ガイドが言うように忘れてしまうのが得策ですが、私であれば消費者センターに相談しても良いと思います。見積もり時点の営業マンの説明と実際に起こったことが、引っ越し業者として適切かどうかをそのような立場の人に聞いてもらうのは良いことだと思います。
この時期、引っ越し業界に対するクレームが、消費者センターにはひっきりなしに来ていますので、そういった雰囲気も把握できると思います。